Свою карьеру в государственных арт-институциях Анна Трапкова начала с позиции заместителя директора департамента государственной поддержки искусства и народного творчества Министерства культуры Российской Федерации. В период с 2012 по 2013 год, занимая этот пост, Трапкова поддерживала идею национальной культуры: ее деятельность в тот период была сосредоточена на продвижении народного творчества как основополагающего элемента культурной политики. Сегодня курс на «народное» искусство уже стал не просто приоритетом, но своего рода обязательной нормой в государственной культурной стратегии.
В 2019 году Трапкова стала директором Музея Москвы, который подведомственен департаменту культуры. Это означает, что любая публичная деятельность музея находится под строгим контролем со стороны государственных органов.